Calcul infinitésimal Exemples

$2 y d x = (x^{2} + 4) d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$(x^{2} + 4) d y = 2 y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 4$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} + 4) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 4) (y)} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(x^{2} + 4) y} y d x$

Étape 3.3

Associez $2$ et $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(x^{2} + 4) y} y d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $y$ à partir de $(x^{2} + 4) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Étape 4.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Étape 4.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.3.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 4.3.4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.4.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 4.3.4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 4.3.4.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 4.3.4.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Étape 4.3.4.3.4

Multipliez $\arctan (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Étape 4.3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Étape 5.2

Réécrivez $\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C} = | y |$

Étape 5.3

Résolvez $y$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ .

$| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Étape 5.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Réécrivez $e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ comme $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$

Étape 6.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$