Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ , $y (0) = π$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}}$ par rapport à $x$ est $\arcsin (\frac{x}{4})$

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$ comme $\arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $π$ dans $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ .

$π = \arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$\arcsin (0) + K = π$

Étape 4.2.1.1.2

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$0 + K = π$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = π$

Étape 5

Remplacez $K$ par $π$ dans $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $π$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + π$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$y = \arcsin (\frac{x}{4}) + π$