Calcul infinitésimal Exemples

$(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y - 2$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - 2]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Étape 1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x - y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x - y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3$ .

$1 = 3$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 = 3$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3$ .

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ .

$\frac{3 - 1}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y - 2$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y - 2$ .

$\frac{3 - 1}{y - 2}$

Étape 4.3.2

Remplacez $M$ par $y - 2$ .

$\frac{2}{y - 2}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y - 2} d y}$

Étape 5.2

Laissez $u = y - 2$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.2.1

Laissez $u = y - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 5.2.1.1

Différenciez $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Étape 5.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 5.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 5.2.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Étape 5.4

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| u |)} + C$

Étape 5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y - 2$ .

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y - 2 |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $2 \ln (| y - 2 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y - 2 |}^{2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y - 2 |}^{2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y - 2 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = {(y - 2)}^{2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez ${(y - 2)}^{2}$ comme $(y - 2) (y - 2)$ .

$μ (x, y) = (y - 2) (y - 2) + C$

Étape 5.6.5

Développez $(y - 2) (y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$μ (x, y) = y (y - 2) - 2 (y - 2) + C$

Étape 5.6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2) + C$

Étape 5.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Étape 5.6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.6.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Étape 5.6.6.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Étape 5.6.6.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 y - 2 y + 4 + C$

Étape 5.6.6.2

Soustrayez $2 y$ de $- 2 y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 4 y + 4 + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $y^{2} - 4 y + 4$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y - 2$ par $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 6.2

Développez $(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(y \cdot y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$(y^{1} y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 6.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(y^{1 + 2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 6.3.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(y^{3} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 6.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(y^{3} - 4 y \cdot y + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 6.3.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.3.1

Déplacez $y$ .

$(y^{3} - 4 (y \cdot y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 6.3.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 6.3.4

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 \cdot y - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 6.3.5

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 6.3.6

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 6.4

Soustrayez $2 y^{2}$ de $- 4 y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 4 y + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 6.5

Additionnez $4 y$ et $8 y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $3 x - y$ par $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4) d y = 0$

Étape 6.7

Développez $(3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 x (- 4 y) + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 \cdot - 4 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.8.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.8.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.8.4

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.8.4.1

Déplacez $y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.8.4.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 6.8.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y^{1}) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.8.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{2 + 1} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.8.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.8.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y \cdot y - y \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.8.6

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.8.6.1

Déplacez $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 (y \cdot y) - y \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.8.6.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.8.7

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.8.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8 d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$ .

$x (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.3.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 6 y^{2}$ par rapport à $y$ est $- 6 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x (3 y^{2} - 6 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.3.6

Comme $12$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $12 y$ par rapport à $y$ est $12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.3.8

Comme $- 8$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.3.9

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.3.10

Multipliez $12$ par $1$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.3.11

Additionnez $3 y^{2} - 12 y + 12$ et $0$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 y^{2}) + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.5.2

Associez des termes.

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Étape 11.5.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$3 \cdot x y^{2} + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.5.2.2

Déplacez $12$ à gauche de $x$ .

$3 x y^{2} + x (- 12 y) + 12 x + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $3 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x$

Étape 12.1.2

Ajoutez $12 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y$

Étape 12.1.3

Soustrayez $12 x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

Étape 12.1.4

Associez les termes opposés dans $3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$ .

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Étape 12.1.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 x y^{2}$ et $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

Étape 12.1.4.2

Soustrayez $3 y^{2} x$ de $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 + 12 x y - 12 x$

Étape 12.1.4.3

Additionnez $- 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 12 x y - 12 x$

Étape 12.1.4.4

Additionnez $- 12 x y$ et $12 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 - 12 x$

Étape 12.1.4.5

Additionnez $12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 12 x$

Étape 12.1.4.6

Soustrayez $12 x$ de $12 x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0$

Étape 12.1.4.7

Additionnez $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

Étape 13.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int - y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Étape 13.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Étape 13.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Étape 13.6

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 \int y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Étape 13.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y$

Étape 13.8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 \int y d y$

Étape 13.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 13.10

Simplifiez

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Étape 13.11

Simplifiez

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Étape 13.11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 \frac{y^{2}}{2} + C$

Étape 13.11.2

Associez $- 4$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 4 y^{2}}{2} + C$

Étape 13.11.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 13.11.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2} + C$

Étape 13.11.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.11.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (1)} + C$

Étape 13.11.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Étape 13.11.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 2 y^{2}}{1} + C$

Étape 13.11.3.2.4

Divisez $- 2 y^{2}$ par $1$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$

Étape 13.12

Simplifiez

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Étape 13.12.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4}) + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Étape 13.12.2

Supprimez les parenthèses.

$g (y) = - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Étape 15.2

Associez $y^{4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Étape 15.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$