Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x e^{6 x - 5 y}$

Étape 1

Laissez $v = e^{6 x - 5 y}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{6 x - 5 y}$ par $v$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d x}$ en différenciant $e^{6 x - 5 y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 6 x - 5 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x - 5 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x - 5 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 5 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Étape 2.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Étape 2.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Étape 2.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 y$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.7

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 y')$

Étape 3

Remplacez $e^{6 x - 5 y}$ par $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v (6 - 5 y')$

Étape 4

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$

Étape 5

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ par $- (5 v)$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ par $- (5 v)$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $5 v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Étape 5.2.1.1.2

Factorisez $5 v$ à partir de $- (5 v)$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v (- 1)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Étape 5.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v \cdot - 1) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Étape 5.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Étape 5.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- (5 v)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

Étape 5.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

Étape 5.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + 6 (- (v)) = x v (- (5 v))$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = x v (- (5 v))$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v \cdot v$

Étape 5.3.2

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Déplacez $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x (v \cdot v)$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v^{2}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$

Étape 6

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $v$ .

$y = v^{- 1}$

Étape 8

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Étape 9

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ par rapport à $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Étape 9.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.3.1

Multipliez $v$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Étape 10

Remplacez $\frac{d v}{d x}$ par $- \frac{v'}{v^{2}}$ et $v$ par $v^{- 1}$ dans l’équation d’origine $\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 11

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.1.2

Factorisez $v^{2}$ à partir de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.5

Multipliez $v^{- 1}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.2.1.5.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.5.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.6

Simplifiez $- 6 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.7

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.3.1

Multipliez les exposants dans ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Étape 11.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 2} (- v^{2})$

Étape 11.1.3.2

Multipliez $v^{- 2}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.3.2.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Étape 11.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{2 - 2} \cdot - 1$

Étape 11.1.3.2.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{0} \cdot - 1$

Étape 11.1.3.3

Simplifiez $- 5 x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x \cdot - 1$

Étape 11.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = 5 x$

Étape 11.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 6 d x}$

Étape 11.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{6 x + C}$

Étape 11.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{6 x}$

Étape 11.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{6 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Multipliez chaque terme par $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + e^{6 x} (6 v) = e^{6 x} (5 x)$

Étape 11.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = e^{6 x} (5 x)$

Étape 11.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$

Étape 11.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$ .

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 v e^{6 x} = 5 x e^{6 x}$

Étape 11.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} v] = 5 x e^{6 x}$

Étape 11.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} v] d x = \int 5 x e^{6 x} d x$

Étape 11.6

Intégrez le côté gauche.

$e^{6 x} v = \int 5 x e^{6 x} d x$

Étape 11.7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.7.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$e^{6 x} v = 5 \int x e^{6 x} d x$

Étape 11.7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (x (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Étape 11.7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.7.3.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (x \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Étape 11.7.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Étape 11.7.3.3

Associez $\frac{1}{6}$ et $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} d x)$

Étape 11.7.4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int e^{6 x} d x))$

Étape 11.7.5

Laissez $u = 6 x$ . Alors $d u = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.7.5.1

Laissez $u = 6 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.7.5.1.1

Différenciez $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 11.7.5.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11.7.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 11.7.5.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 11.7.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{6} d u)$

Étape 11.7.6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{6} d u)$

Étape 11.7.7

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int e^{u} d u))$

Étape 11.7.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.7.8.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

Étape 11.7.8.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

Étape 11.7.9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

Étape 11.7.10

Réécrivez $5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ comme $5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Étape 11.7.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{6 x}) + C$

Étape 11.8

Résolvez $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.1.1

Associez $e^{6 x}$ et $\frac{1}{36}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

Étape 11.8.1.2

Supprimez les parenthèses.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

Étape 11.8.2

Divisez chaque terme dans $e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ par $e^{6 x}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ par $e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{6 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.2.3.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.2.3.1.1.1

Factorisez $e^{6 x}$ à partir de $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.2.3.1.1.1.1

Factorisez $e^{6 x}$ à partir de $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x}$ .

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.1.1.2

Factorisez $e^{6 x}$ à partir de $- \frac{e^{6 x}}{36}$ .

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.1.1.3

Factorisez $e^{6 x}$ à partir de $e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36})$ .

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x - \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.1.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $x$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.1.3

Pour écrire $\frac{x}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.2.3.1.1.4.1

Multipliez $\frac{x}{6}$ par $\frac{6}{6}$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{6 \cdot 6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.1.4.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{36} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{x \cdot 6 - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.1.6

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{6 x - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.1.7

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.2.3.1.1.7.1

Associez $\frac{6 x - 1}{36}$ et $5$ .

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36} e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.1.7.2

Associez $\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36}$ et $e^{6 x}$ .

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5 e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.1.8

Déplacez $5$ à gauche de $6 x - 1$ .

$v = \frac{\frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.3

Associez.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $e^{6 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{5 (6 x - 1) \cdot 1}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.1.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.2

Pour écrire $\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.3

Pour écrire $\frac{C}{e^{6 x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{36}{36}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

Étape 11.8.2.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36 e^{6 x}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.2.3.4.1

Multipliez $\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ par $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

Étape 11.8.2.3.4.2

Multipliez $\frac{C}{e^{6 x}}$ par $\frac{36}{36}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{e^{6 x} \cdot 36}$

Étape 11.8.2.3.4.3

Réorganisez les facteurs de $e^{6 x} \cdot 36$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.2.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = \frac{(5 (6 x) + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.6.2

Multipliez $6$ par $5$ .

$v = \frac{(30 x + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.6.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$v = \frac{(30 x - 5) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Étape 11.8.2.3.6.5

Déplacez $36$ à gauche de $C$ .

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Étape 12

Remplacez $v$ par $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $e^{6 x - 5 y}$ .

${(e^{6 x - 5 y})}^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Étape 14

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Étape 14.2

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Développez $\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1})$ en déplaçant $- 1$ hors du logarithme.

$- \ln (e^{6 x - 5 y}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Étape 14.2.2

Développez $\ln (e^{6 x - 5 y})$ en déplaçant $6 x - 5 y$ hors du logarithme.

$- ((6 x - 5 y) \ln (e)) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Étape 14.2.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- ((6 x - 5 y) \cdot 1) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Étape 14.2.4

Multipliez $6 x - 5 y$ par $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Étape 14.3

Développez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Réécrivez $\ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$ comme $\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$

Étape 14.3.2

Réécrivez $\ln (36 e^{6 x})$ comme $\ln (36) + \ln (e^{6 x})$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + \ln (e^{6 x}))$

Étape 14.3.3

Développez $\ln (e^{6 x})$ en déplaçant $6 x$ hors du logarithme.

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \ln (e))$

Étape 14.3.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \cdot 1)$

Étape 14.3.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Étape 14.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1

Simplifiez $- (6 x - 5 y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (6 x) - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Étape 14.4.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1.2.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 x - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Étape 14.4.1.2.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Étape 14.5

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1

Simplifiez $\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - (6 x)$

Étape 14.5.1.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - 6 x$

Étape 14.5.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}) - 6 x$

Étape 14.5.1.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1.3.1

Divisez la fraction $\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}$ en deux fractions.

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Étape 14.5.1.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1.3.2.1

Factorisez $5 e^{6 x}$ à partir de $30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1.3.2.1.1

Factorisez $5 e^{6 x}$ à partir de $30 x e^{6 x}$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Étape 14.5.1.3.2.1.2

Factorisez $5 e^{6 x}$ à partir de $- 5 e^{6 x}$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Étape 14.5.1.3.2.1.3

Factorisez $5 e^{6 x}$ à partir de $5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Étape 14.5.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Étape 14.5.1.3.2.2.2

Divisez $C$ par $1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x$

Étape 14.6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.6.1

Ajoutez $6 x$ aux deux côtés de l’équation.

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$

Étape 14.6.2

Associez les termes opposés dans $\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.6.2.1

Additionnez $- 6 x$ et $6 x$ .

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) + 0$

Étape 14.6.2.2

Additionnez $\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ et $0$ .

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$

Étape 14.7

Divisez chaque terme dans $5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.7.1

Divisez chaque terme dans $5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ par $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

Étape 14.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.7.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

Étape 14.7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$