Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $2 x y d x$ des deux côtés de l’équation.

$- (1 + x^{2}) d y = - 2 x y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Étape 3.2.2

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Étape 3.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $y$ à partir de $(1 + x^{2}) y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

Étape 3.6.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Étape 3.6.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Étape 3.6.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{1 + x^{2}} x d x$

Étape 3.7

Associez $\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ et $x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Étape 4.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3.4

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.4.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 4.3.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.4.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 4.3.4.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4.3.5

Simplifiez

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 4.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 4.3.7

Simplifiez

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Étape 4.3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 4.3.9

Simplifiez

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Étape 5.2

Soustrayez $\ln (| 1 + x^{2} |)$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Étape 5.3.2.2

Divisez $\ln (| y |)$ par $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Étape 5.3.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{1}$

Étape 5.3.3.1.4

Divisez $\ln (| 1 + x^{2} |)$ par $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (| 1 + x^{2} |)$

Étape 5.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = - C$

Étape 5.5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = - C$

Étape 5.6

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{- C}$

Étape 5.7

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}$

Étape 5.8

Résolvez $y$ .

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Étape 5.8.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- C}$

Étape 5.8.2

Multipliez les deux côtés par $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Étape 5.8.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.3.1

Annulez le facteur commun de $| 1 + x^{2} |$ .

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Étape 5.8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Étape 5.8.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Étape 5.8.4

Résolvez $y$ .

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Étape 5.8.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- C} | 1 + x^{2} |$ .

$| y | = | 1 + x^{2} | e^{- C}$

Étape 5.8.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{2} | e^{- C}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm | 1 + x^{2} | C$

Étape 6.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | 1 + x^{2} |$