Calcul infinitésimal Exemples

$(2 + x) d y = 3 (y d) x$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(2 + x) y}$ .

$\frac{1}{(2 + x) y} (2 + x) d y = \frac{1}{(2 + x) y} (3 y) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $2 + x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2 + x$ à partir de $(2 + x) y$ .

$\frac{1}{(2 + x) (y)} (2 + x) d y = \frac{1}{(2 + x) y} (3 y) d x$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(2 + x) y} (2 + x) d y = \frac{1}{(2 + x) y} (3 y) d x$

Étape 2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(2 + x) y} (3 y) d x$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(2 + x) y} y d x$

Étape 2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{(2 + x) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(2 + x) y} y d x$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $y$ à partir de $(2 + x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y (2 + x)} y d x$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y (2 + x)} y d x$

Étape 2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{2 + x} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{2 + x} d x$

Étape 3.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{2 + x} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{2 + x} d x$

Étape 3.3.2

Laissez $u = 2 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.3.2.1

Laissez $u = 2 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Différenciez $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Étape 3.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 3.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 3.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 3.3.4

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 3.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 3 \ln (| 2 + x |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - 3 \ln (| 2 + x |) = C$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\ln (| y |) - 3 \ln (| 2 + x |)$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez $- 3 \ln (| 2 + x |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) - \ln ({| 2 + x |}^{3}) = C$

Étape 4.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}}) = C$

Étape 4.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}})} = e^{C}$

Étape 4.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}}$

Étape 4.5

Résolvez $y$ .

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} = e^{C}$

Étape 4.5.2

Multipliez les deux côtés par ${| 2 + x |}^{3}$ .

$\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} {| 2 + x |}^{3} = e^{C} {| 2 + x |}^{3}$

Étape 4.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.3.1

Annulez le facteur commun de ${| 2 + x |}^{3}$ .

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Étape 4.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} {| 2 + x |}^{3} = e^{C} {| 2 + x |}^{3}$

Étape 4.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{C} {| 2 + x |}^{3}$

Étape 4.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} {| 2 + x |}^{3}$ .

$| y | = {| 2 + x |}^{3} e^{C}$

Étape 4.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm {| 2 + x |}^{3} e^{C}$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm {| 2 + x |}^{3} C$

Étape 5.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C {| 2 + x |}^{3}$