Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x + 2)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (x + 1) (x + 2) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int (x + 1) (x + 2) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int (x + 1) (x + 2) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int x (x + 2) + 1 (x + 2) d x$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2) d x$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 2.3.1.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$y + C_{1} = \int x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 2.3.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 2.3.1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 2.3.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 2.3.1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 2.3.1.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 2.3.1.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + x + 2 d x$

Étape 2.3.1.11

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 3 x + 2 d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Étape 2.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 \int x d x + \int 2 d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 2 d x$

Étape 2.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C_{5}$

Étape 2.3.7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + K$