Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} \frac{d y}{d x} - x = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$ par $x y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$ par $x y^{2}$ .

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $\frac{1}{y^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 1.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x y^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{y^{2} x}$

Étape 1.2.2.2

Réorganisez les facteurs de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} + \frac{x}{y^{2} x}$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{y^{2} x}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{1 + x}{x}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{x y^{2}}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{y^{2} x}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{y^{2} x}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x + \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 x + 3 \ln (| x |) + 3 C$

Étape 3.3

Simplifiez $3 \ln (| x |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$y^{3} = 3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + C}$