Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ , $(3, 1)$

Étape 1

Supposez que $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ .

Étape 2

Vérifiez si la fonction est continue aux alentours de $(3, 1)$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs $(3, 1)$ dans $\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$\sqrt{3 - y}$

Étape 2.1.2

Remplacez $y$ par $1$ .

$\sqrt{3 - 1}$

Étape 2.1.3

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\sqrt{2}$

Étape 2.2

Comme il n’y a pas de logarithme avec un argument négatif ou nul, pas de radical pair avec un radicande négatif ou nul et pas de fraction avec zéro dans le dénominateur, la fonction est continue sur un intervalle ouvert autour de la valeur $x$ de $(3, 1)$ .

Continu

Étape 3

Déterminez la dérivée partielle par rapport à $y$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée partielle.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sqrt{x - y}]$

Étape 3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - y}$ comme ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ et $g (y) = x - y$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 3.8

Associez les fractions.

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Étape 3.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 3.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 3.8.3

Placez ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Étape 3.10

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Étape 3.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 3.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.14

Associez les fractions.

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Étape 3.14.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Étape 3.14.2

Associez $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ et $- 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{- 1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.14.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Vérifiez si la dérivée partielle par rapport à $y$ est continue aux alentours de $(3, 1)$ .

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Étape 4.1

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Étape 4.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $(3, 1)$ dans $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Étape 4.2.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Étape 4.2.3

Remplacez $y$ par $3$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$

Étape 4.3

Continu

Étape 5

La fonction et sa dérivée partielle par rapport à $y$ sont continues sur un intervalle ouvert autour de la valeur $x$ de $(3, 1)$ .

Une solution unique