Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\cos (2 y)$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (2 y)$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $\cos (2 y)$ à partir de $2 \cos (2 y)$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 e^{4 x}$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2}$

Étape 1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 (1)}$

Étape 1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{4 e^{4 x}}{1}$

Étape 1.2.2.2.4

Divisez $4 e^{4 x}$ par $1$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = 4 e^{4 x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\cos (2 y) d y = 4 e^{4 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \cos (2 y) d y = \int 4 e^{4 x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 2 y$ . Alors $d u_{1} = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 2 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 2.2.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Étape 2.2.2

Associez $\cos (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int 4 e^{4 x} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 y$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{4 x} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = 4 x$ . Alors $d u_{2} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{4 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) = e^{4 x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \sin (2 y)) = 2 (e^{4 x} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \sin (2 y))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 y)$ .

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 y) = 2 (e^{4 x} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (2 y) = 2 e^{4 x} + 2 K$

Étape 3.3

Remettez dans l’ordre $2 e^{4 x}$ et $2 K$ .

$\sin (2 y) = 2 K + 2 e^{4 x}$

Étape 3.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\arcsin (K + 2 e^{4 x})}{2}$