Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 7 \frac{d y}{d x} + 12 y = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$y'' - 7 y' + 12 y = 0$

Étape 2

Déterminez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x})$

Étape 2.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 2.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Étape 2.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Étape 2.3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Étape 2.3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Étape 2.3.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Étape 2.3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Étape 2.3.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Étape 2.3.2.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Étape 2.3.2.7

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 e^{4 x}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$6 e^{3 x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.3.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Étape 2.3.3.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \cdot 4)$

Étape 2.3.3.6

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$6 e^{3 x} - 5 (4 \cdot e^{4 x})$

Étape 2.3.3.7

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

Étape 2.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

Étape 3

Déterminez $y''$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez la dérivée.

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y'' = 6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$y'' = 6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y'' = 6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Étape 3.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Étape 3.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Étape 3.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$y'' = 6 (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Étape 3.3.7

Multipliez $3$ par $6$ .

$y'' = 18 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 e^{4 x}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.4.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Étape 3.4.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \cdot 4)$

Étape 3.4.6

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (4 e^{4 x})$

Étape 3.4.7

Multipliez $4$ par $- 20$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 80 e^{4 x}$

Étape 4

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x}) - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Étape 5.1.2

Multipliez $6$ par $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 20$ par $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Étape 5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x}) + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

Étape 5.1.5

Multipliez $2$ par $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

Étape 5.1.6

Multipliez $- 5$ par $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $42 e^{3 x}$ de $18 e^{3 x}$ .

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Étape 5.3

Associez les termes opposés dans $- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Additionnez $- 24 e^{3 x}$ et $24 e^{3 x}$ .

$0 - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Étape 5.3.2

Soustrayez $80 e^{4 x}$ de $0$ .

$- 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Étape 5.4

Additionnez $- 80 e^{4 x}$ et $140 e^{4 x}$ .

$60 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Étape 5.5

Soustrayez $60 e^{4 x}$ de $60 e^{4 x}$ .

$0 = 0$

Étape 6

La solution donnée respecte l’équation différentielle donnée.

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ est une solution à $y'' - 7 y' + 12 y = 0$