Calcul infinitésimal Exemples

$t \frac{d y}{d x} = 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$t d y = (6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int t d y = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} d x + \int x (2 t - 1) d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + \int x (2 t - 1) d x$

Étape 2.3.3

Comme $2 t - 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 t - 1$ en dehors de l’intégrale.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) \int x d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + (2 t - 1) \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$t y + C_{1} = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + K$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ par $t$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ par $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K}{t}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t) + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Étape 3.3.2.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - 1 \cdot x^{2}) + K}{t}$

Étape 3.3.2.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - x^{2}) + K}{t}$

Étape 3.3.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 x^{2} t) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Étape 3.3.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Étape 3.3.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Étape 3.3.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Étape 3.3.2.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.2.8

Associez $x^{2} t$ et $- \frac{x^{2}}{2}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 3.3.2.8.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.2.8.2

Pour écrire $t x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.2.8.3

Associez $t x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.2.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.9.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $t x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.9.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $t x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) - x^{2}}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.2.9.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.2.9.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2 - 1)}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.2.9.2

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.3

Pour écrire $6 e^{2 t} t x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.4.1

Associez $6 e^{2 t} t x$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)$ .

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Étape 3.3.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $6 e^{2 t} t x \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (2 t - 1)$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2 + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t) + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.5.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - 1 \cdot x)}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.5.6

Simplifiez chaque terme.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K}{t}$

Étape 3.3.6

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K \cdot \frac{2}{2}}{t}$

Étape 3.3.7

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.7.1

Associez $K$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2}}{t}$

Étape 3.3.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Étape 3.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t) + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Étape 3.3.8.2

Simplifiez

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Étape 3.3.8.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Étape 3.3.8.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Étape 3.3.8.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Étape 3.3.8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.8.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.8.3.1.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 (x \cdot x) t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Étape 3.3.8.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Étape 3.3.8.3.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.8.3.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - (x \cdot x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Étape 3.3.8.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + K \cdot 2}{2}}{t}$

Étape 3.3.8.4

Déplacez $2$ à gauche de $K$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Étape 3.3.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = \frac{\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Étape 3.3.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2} \cdot \frac{1}{t}$

Étape 3.3.11

Multipliez $\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ par $\frac{1}{t}$ .

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2 t}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + K}{2 t}$