Calcul infinitésimal Exemples

$3 y (x^{2} - 1) d x + (x^{3} + 8 y - 3 x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 y (x^{2} - 1)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y (x^{2} - 1)]$

Étape 1.2

Comme $3 (x^{2} - 1)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y (x^{2} - 1)$ par rapport à $y$ est $3 (x^{2} - 1) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1) \cdot 1$

Étape 1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1)$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

Étape 1.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} - 3$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{3} + 8 y - 3 x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 y - 3 x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 8 y - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.2.3

Comme $8 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3$

Étape 2.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} - 3$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x^{2} - 3$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3 = 3 x^{2} - 3$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$3 x^{2} - 3 = 3 x^{2} - 3$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y (x^{2} - 1) d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 3 y (x^{2} - 1)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $3 y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} - 1 d x$

Étape 5.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = 3 y (\int x^{2} d x + \int - 1 d x)$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x)$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C)$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C - x + C)$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 8.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $3 (\frac{x^{3}}{3} - x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)$ par rapport à $y$ est $3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 8.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \frac{x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 8.5.2

Associez des termes.

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Étape 8.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 8.5.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 8.5.2.2.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 8.5.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 8.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} - 3 x = x^{3} + 8 y - 3 x$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3}$

Étape 9.1.2

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3} + 3 x$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3} + 3 x$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y - 3 x + 0 + 3 x$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $8 y - 3 x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y - 3 x + 3 x$

Étape 9.1.3.3

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y + 0$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $8 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y$

Étape 10

Déterminez la primitive de $8 y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 8 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 8 y d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 8 y d y$

Étape 10.3

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 8 \int y d y$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 8 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $8$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{8}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \frac{4}{1} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$g (y) = 4 y^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + 4 y^{2} + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + 4 y^{2} + C$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = 3 y \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$f (x, y) = 3 (y) \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Étape 12.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = 3 y \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Étape 12.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Étape 12.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 \cdot - 1 y x + 4 y^{2} + C$

Étape 12.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 3 y x + 4 y^{2} + C$