Calcul infinitésimal Exemples

$2 y (x + 1) d y = x d x$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} (2 y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Étape 2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $y (x + 1)$ .

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Étape 2.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 y d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Étape 2.4

Associez $\frac{1}{x + 1}$ et $x$ .

$2 y d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 3.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 3.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.2.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 3.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 3.2.3.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Divisez $x$ par $x + 1$ .

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Étape 3.3.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Étape 3.3.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Étape 3.3.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Étape 3.3.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Étape 3.3.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Étape 3.3.1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 3.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 3.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 3.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 3.3.5

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.3.5.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.3.5.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.3.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3.5.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.3.5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 3.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Étape 3.3.7

Simplifiez

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Étape 3.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y^{2} = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Étape 4.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Étape 4.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Étape 4.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$