Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} e^{y} d x - e^{- 2 y} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $e^{x} e^{y} d x$ des deux côtés de l’équation.

$- e^{- 2 y} d y = - e^{x} e^{y} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} (- e^{- 2 y}) d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{e^{y}} e^{- 2 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Étape 3.2

Associez $e^{- 2 y}$ et $\frac{1}{e^{y}}$ .

$- \frac{e^{- 2 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun à $e^{- 2 y}$ et $e^{y}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $e^{y}$ à partir de $e^{- 2 y}$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Étape 3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{e^{- 3 y}}{1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Étape 3.3.2.4

Divisez $e^{- 3 y}$ par $1$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- e^{- 3 y} d y = - \frac{1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{e^{y}}$ dans le numérateur.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Étape 3.5.2

Factorisez $e^{y}$ à partir de $e^{x} e^{y}$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Étape 3.5.4

Réécrivez l’expression.

$- e^{- 3 y} d y = - (e^{x - y} e^{y}) d x$

Étape 3.6

Multipliez $e^{x - y}$ par $e^{y}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x - y + y} d x$

Étape 3.6.2

Associez les termes opposés dans $x - y + y$ .

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Étape 3.6.2.1

Additionnez $- y$ et $y$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x + 0} d x$

Étape 3.6.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Étape 4.2.2

Laissez $u = - 3 y$ . Alors $d u = - 3 d y$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.2.1

Laissez $u = - 3 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Différenciez $- 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 3 y]$

Étape 4.2.2.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3 y$ par rapport à $y$ est $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 4.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u = \int - e^{x} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int - e^{x} d x$

Étape 4.2.3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \int - \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Étape 4.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- - \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ par $1$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Étape 4.2.6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int - e^{x} d x$

Étape 4.2.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

Étape 4.2.8

Simplifiez

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Étape 4.2.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 y$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} = - e^{x} + K$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y}) = 3 (- e^{x} + K)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{- 3 y}$ .

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x} + K)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $3 (- e^{x} + K)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x}) + 3 K$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$e^{- 3 y} = - 3 e^{x} + 3 K$

Étape 5.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 3 y}) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Étape 5.4

Développez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Développez $\ln (e^{- 3 y})$ en déplaçant $- 3 y$ hors du logarithme.

$- 3 y \ln (e) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Étape 5.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- 3 y \cdot 1 = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Étape 5.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{3}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + K)}{3}$