Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x) - y \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1.1

Divisez la fraction $\frac{x \sin (x) - y \cos (x)}{\sin (x)}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $\frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}) = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$e^{\int - \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Étape 2.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\int - - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Étape 2.2.1.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$e^{\int - - \cot (x) d x}$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{\int 1 \cot (x) d x}$

Étape 2.2.1.5

Multipliez $\cot (x)$ par $1$ .

$e^{\int \cot (x) d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sin (x)$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\sin (x)$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} - (- 1 \cos (x)) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + 1 \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.2.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = x \sin (x)$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = x \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = x \sin (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = x \sin (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int x \sin (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\sin (x) y = \int x \sin (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Étape 7.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Étape 7.3.2

Multipliez $\int \cos (x) d x$ par $1$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Étape 7.4

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Étape 7.5

Réécrivez $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ comme $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ par $\sin (x)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ par $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Séparez les fractions.

$y = \frac{- x}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3.1.2

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$y = \frac{- x}{1} \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3.1.3

Divisez $- x$ par $1$ .

$y = - x \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3.1.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - x \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3.1.5

Séparez les fractions.

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 8.3.1.6

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{1} \csc (x)$

Étape 8.3.1.7

Divisez $C$ par $1$ .

$y = - x \cot (x) + 1 + C \csc (x)$