Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2} y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2} y^{2}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2}}$

Étape 1.3.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$ comme $\frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3 x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{1}{3 x} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x}) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3 x}$ dans le numérateur.

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 (x)} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = \frac{- 1}{x} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{1}{x} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$ .

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Étape 3.4.1

Pour écrire $3 K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + \frac{3 K x}{x}}$

Étape 3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$

Étape 3.4.3

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 3.4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 3.4.5.2

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 3.4.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.5.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Étape 3.4.5.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 3.4.5.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.5.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.5.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.5.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.5.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.5.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Étape 3.4.5.5.5

Simplifiez

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Étape 3.4.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + 3 K x)}}{x}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$