Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 5 x e^{y}$ , $y (0) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (5 x e^{y})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 5 \frac{1}{e^{y}} (x e^{y})$

Étape 1.2.2

Associez $5$ et $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{e^{y}} (x e^{y})$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $e^{y}$ à partir de $x e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{e^{y}} (e^{y} x)$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{e^{y}} (e^{y} x)$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 5 x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{y}} d y = 5 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int 5 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int 5 x d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int 5 x d x$

Étape 2.2.1.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int 5 x d x$

Étape 2.2.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int 5 x d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{- y}$ par $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int 5 x d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u = - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2.2.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int 5 x d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int e^{u} d u = \int 5 x d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 5 x d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- e^{u} + C_{1} = \int 5 x d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int 5 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$- e^{- y} + C_{1} = 5 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{5}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- e^{- y} = \frac{5}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- e^{- y} = \frac{5}{2} x^{2} + K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- e^{- y} = \frac{5}{2} x^{2} + K$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{5}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{5}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $e^{- y}$ par $1$ .

$e^{- y} = \frac{\frac{5}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{5}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{5}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\frac{5}{2} x^{2})$ comme $- (\frac{5}{2} x^{2})$ .

$e^{- y} = - (\frac{5}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{- y} = - \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{5 x^{2}}{2} - 1 \cdot K$

Étape 3.1.3.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot K$ comme $- K$ .

$e^{- y} = - \frac{5 x^{2}}{2} - K$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Étape 3.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Développez $\ln (e^{- y})$ en déplaçant $- y$ hors du logarithme.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Étape 3.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- y = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Étape 3.4.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$ comme $- \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$ .

$y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} + K)$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $0$ dans $y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} + K)$ .

$0 = - \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K)$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$ .

$- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $\ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K)$ par $1$ .

$\ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\ln (- \frac{5 \cdot 0}{2} + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\ln (- \frac{0}{2} + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.2.3

Divisez $0$ par $2$ .

$\ln (- 0 + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\ln (0 + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $0$ et $K$ .

$\ln (K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\ln (K) = 0$

Étape 6.3

Pour résoudre $K$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (K)} = e^{0}$

Étape 6.4

Réécrivez $\ln (K) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = K$

Étape 6.5

Résolvez $K$ .

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Étape 6.5.1

Réécrivez l’équation comme $K = e^{0}$ .

$K = e^{0}$

Étape 6.5.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$K = 1$

Étape 7

Remplacez $K$ par $1$ dans $y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} + K)$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $1$ .

$y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} + 1)$