Calcul infinitésimal Exemples

$(5 - x) e^{y} d x = x y d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$x y d y = (5 - x) e^{y} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x e^{y}}$ .

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x e^{y}$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x (y)) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Étape 3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{y}} y d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{e^{y}}$ et $y$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $e^{y}$ à partir de $x e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} ((5 - x) e^{y}) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $e^{y}$ à partir de $(5 - x) e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x} (5 - x) d x$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $5 - x$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2.1.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2.1.2.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2.4

Simplifiez

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $\int e^{- y} d y$ par $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2.5

Laissez $u = - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.5.1

Laissez $u = - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.2.5.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 4.2.5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 4.2.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.2.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2.8

Réécrivez $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ comme $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.2.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} + \frac{- x}{x} d x$

Étape 4.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Étape 4.3.3.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int - 1 d x$

Étape 4.3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 1 d x$

Étape 4.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 4.3.7

Simplifiez

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \ln (| x |) - x + C_{4}$

Étape 4.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x + 5 \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = - x + 5 \ln (| x |) + C$