Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 5 x^{2} + 1$

Étape 1

intégrez les deux côtés par rapport à $x$ .

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Étape 1.1

La dérivée première est égale à l’intégrale de la dérivée seconde par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 5 x^{2} + 1 d x$

Étape 1.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{d y}{d x} = \int 5 x^{2} d x + \int d x$

Étape 1.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{d y}{d x} = 5 \int x^{2} d x + \int d x$

Étape 1.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) + \int d x$

Étape 1.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{d y}{d x} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) + x + C_{2}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C_{1}) + x + C_{2}$

Étape 1.6.2

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{3}}{3} + x + C_{3}$

Étape 1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3}$

Étape 2

Réécrivez l’équation.

$d y = (\frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3}) d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3} d x$

Étape 3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{4} = \int \frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{4} = \int \frac{5}{3} x^{3} d x + \int x d x + \int C_{3} d x$

Étape 3.3.2

Comme $\frac{5}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{5}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{4} = \frac{5}{3} \int x^{3} d x + \int x d x + \int C_{3} d x$

Étape 3.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{4} = \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) + \int x d x + \int C_{3} d x$

Étape 3.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{4} = \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6} + \int C_{3} d x$

Étape 3.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{4} = \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6} + C_{3} x + C_{7}$

Étape 3.3.6

Simplifiez

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Étape 3.3.6.1

Simplifiez

$y + C_{4} = \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{x^{2}}{2} + C_{3} x + C_{8}$

Étape 3.3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{4} = \frac{5}{12} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3} x + C_{8}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = \frac{5}{12} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + D$