Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez $\frac{y}{1 + 2 y^{2}}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $1 + 2 y^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Étape 1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Étape 1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3.2.5

Divisez $2 y$ par $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 \int y d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

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Étape 2.2.7.1

Simplifiez

$\ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.7.2

Simplifiez

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Étape 2.2.7.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.7.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.7.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\ln (| y |) + y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$