Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$

Étape 1

Supposez que toutes les solutions sont de la forme $y = e^{r x}$ .

Étape 2

Déterminez l’équation caractéristique pour $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Étape 2.3

Remplacez dans l’équation différentielle.

$r^{2} e^{r x} - e^{r x} = 0$

Étape 2.4

Factorisez $e^{r x}$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - e^{r x} = 0$

Étape 2.4.2

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $- e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1 = 0$

Étape 2.4.3

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1$ .

$e^{r x} (r^{2} - 1) = 0$

Étape 2.5

Comme les exponentielles ne peuvent jamais être nulles, divisez les deux côtés par $e^{r x}$ .

$r^{2} - 1 = 0$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$r^{2} = 1$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$r = \pm \sqrt{1}$

Étape 3.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$r = \pm 1$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = 1$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - 1$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = 1, - 1$

Étape 4

Les deux valeurs déterminées de $r$ permettent de construire deux solutions.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- x}$

Étape 5

D’après le principe de superposition, la solution générale est une combinaison linéaire des deux solutions pour une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- x}$

Étape 6

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x}$