Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de Bernoulli.

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{2}$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{2}$

Étape 2

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- 1}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Étape 5

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ par rapport à $x$ .

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Étape 5.1

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 5.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.1

Multipliez $v$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 5.4.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 5.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 5.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Étape 6

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{v^{2}}$ et $y$ par $v^{- 1}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 7

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Étape 7.1.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 7.1.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 7.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 7.1.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 7.1.1.2.1.1.2

Factorisez $v^{2}$ à partir de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 7.1.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 7.1.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 7.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 7.1.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 7.1.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} v^{2} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 7.1.1.2.1.5

Multipliez $v^{- 1}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1.2.1.5.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 7.1.1.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 7.1.1.2.1.5.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 7.1.1.2.1.6

Simplifiez $- \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 7.1.1.2.1.7

Associez $v$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 7.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Étape 7.1.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 7.1.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Étape 7.1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{- 2} v^{2}$

Étape 7.1.1.3.3

Multipliez $v^{- 2}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1.3.3.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - (v^{2} v^{- 2})$

Étape 7.1.1.3.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{2 - 2}$

Étape 7.1.1.3.3.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{0}$

Étape 7.1.1.3.4

Simplifiez $- v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - 1$

Étape 7.1.2

Factorisez $v$ à partir de $- \frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = - 1$

Étape 7.1.3

Remettez dans l’ordre $v$ et $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = - 1$

Étape 7.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Étape 7.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 7.2.2

Intégrez $- \frac{1}{x}$ .

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Étape 7.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 7.2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 7.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 7.2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 7.2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 7.2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 7.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 7.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 7.3.2.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 7.3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

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Étape 7.3.2.4.1

Multipliez $\frac{v}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 7.3.2.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 7.3.2.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 7.3.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 7.3.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Étape 7.3.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x}$

Étape 7.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - \frac{1}{x}$

Étape 7.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - \frac{1}{x}$

Étape 7.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 7.6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} v = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 7.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} v = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.7.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} v = - (\ln (| x |) + C)$

Étape 7.7.3

Simplifiez

$\frac{1}{x} v = - \ln (| x |) + C$

Étape 7.8

Résolvez $v$ .

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Étape 7.8.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $v$ .

$\frac{v}{x} = - \ln (| x |) + C$

Étape 7.8.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 7.8.3

Simplifiez

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Étape 7.8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v}{x} x = (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 7.8.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$v = (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 7.8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.8.3.2.1

Simplifiez $(- \ln (| x |) + C) x$ .

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Étape 7.8.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = - \ln (| x |) x + C x$

Étape 7.8.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.8.3.2.1.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln (| x |) x + C x$ .

$v = - x \ln (| x |) + C x$

Étape 7.8.3.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $- x \ln (| x |)$ et $C x$ .

$v = C x - x \ln (| x |)$

Étape 8

Remplacez $v$ par $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = C x - x \ln (| x |)$