Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 1$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (\ln (| x |) + C)$