Calcul infinitésimal Exemples

$(y + 2) d x + (x - 2) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(y + 2) d x$ des deux côtés de l’équation.

$(x - 2) d y = - (y + 2) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ .

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y + 2$ à partir de $(x - 2) (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{x - 2} d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{x - 2} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = y + 2$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = y + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 4.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 4.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 4.2.1.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 2} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = x - 2$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.3.2.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.3.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 4.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x - 2 |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \ln (| x - 2 |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y + 2 |) + \ln (| x - 2 |) = C$

Étape 5.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 2 | | x - 2 |) = C$

Étape 5.3

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (y + 2) (x - 2) |) = C$

Étape 5.4

Développez $(y + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y (x - 2) + 2 (x - 2) |) = C$

Étape 5.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 (x - 2) |) = C$

Étape 5.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

$\ln (| y x - 2 \cdot y + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Étape 5.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$

Étape 5.6

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |)} = e^{C}$

Étape 5.7

Réécrivez $\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x - 2 y + 2 x - 4 |$

Étape 5.8

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.1

Réécrivez l’équation comme $| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$ .

$| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$

Étape 5.8.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y x - 2 y + 2 x - 4 = \pm e^{C}$

Étape 5.8.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.3.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$y x - 2 y - 4 = \pm e^{C} - 2 x$

Étape 5.8.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Étape 5.8.4

Factorisez $y$ à partir de $y x - 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.4.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Étape 5.8.4.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Étape 5.8.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Étape 5.8.5

Divisez chaque terme dans $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ par $x - 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.5.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ par $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Étape 5.8.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Étape 5.8.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Étape 5.8.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} - \frac{2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Étape 5.8.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Étape 5.8.5.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x + 4}{x - 2}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C - 2 x + 4}{x - 2}$