Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} d x + {(y + 1)}^{2} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x^{3} d x$ des deux côtés de l’équation.

${(y + 1)}^{2} d y = - x^{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int {(y + 1)}^{2} d y = \int - x^{3} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y + 1$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{2} d u = \int - x^{3} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 1$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \int x^{3} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Réécrivez $- (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} = - \frac{1}{4} x^{4} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(y + 1)}^{3}$ .

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $3 (- \frac{x^{4}}{4})$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

${(y + 1)}^{3} = - 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{x^{4}}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = \frac{- 3 x^{4}}{4} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

${(y + 1)}^{3} = - \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez.

$y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Étape 3.4.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Étape 3.4.3

Factorisez $3$ à partir de $- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- \frac{3 x^{4}}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3 K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)}$

Étape 3.4.4

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Étape 3.4.5

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.5.1

Associez $K$ et $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Étape 3.4.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Étape 3.4.6

Déplacez $4$ à gauche de $K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + 4 K}{4}}$

Étape 3.4.7

Associez $3$ et $\frac{- x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$

Étape 3.4.8

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 3.4.9

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.10.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.10.2

Élevez $\sqrt[3]{4}$ à la puissance $1$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.10.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Étape 3.4.10.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme $4$ .

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Étape 3.4.10.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.10.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.10.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.10.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.10.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.10.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Étape 3.4.10.5.5

Évaluez l’exposant.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 3.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.11.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Étape 3.4.11.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Étape 3.4.11.3

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 3.4.11.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Étape 3.4.11.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Étape 3.4.11.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Étape 3.4.11.5

Associez les exposants.

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Étape 3.4.11.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Étape 3.4.11.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Étape 3.4.12

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.4.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Étape 3.4.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2}$

Étape 3.5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$

Étape 3.6

Simplifiez $\frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$ .

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Étape 3.6.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.6.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 3.6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 3.6.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 2}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + K)} - 2}{2}$