Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x + 1$ , $y (1) = 8$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 1.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 1.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x + 1$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x + 1 d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int 4 x + 1 d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x y = \int 4 x d x + \int d x$

Étape 5.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$x y = 4 \int x d x + \int d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Étape 5.5.2

Simplifiez

$x y = 2 x^{2} + x + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $x y = 2 x^{2} + x + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $x y = 2 x^{2} + x + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2.5

Divisez $2 x$ par $1$ .

$y = 2 x + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 2 x + \frac{x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 x + 1 + \frac{C}{x}$

Étape 7

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $8$ dans $y = 2 x + 1 + \frac{C}{x}$ .

$8 = 2 \cdot 1 + 1 + \frac{C}{1}$

Étape 8

Résolvez $C$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $2 \cdot 1 + 1 + \frac{C}{1} = 8$ .

$2 \cdot 1 + 1 + \frac{C}{1} = 8$

Étape 8.2

Simplifiez $2 \cdot 1 + 1 + \frac{C}{1}$ .

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 1 + \frac{C}{1} = 8$

Étape 8.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$2 + 1 + C = 8$

Étape 8.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 + C = 8$

Étape 8.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$C = 8 - 3$

Étape 8.3.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

$C = 5$

Étape 9

Remplacez $C$ par $5$ dans $y = 2 x + 1 + \frac{C}{x}$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Remplacez $C$ par $5$ .

$y = 2 x + 1 + \frac{5}{x}$