Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} e^{x} y^{- 2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (- \frac{1}{4} e^{x} y^{- 2})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y^{- 2}} (e^{x} y^{- 2})$

Étape 1.2.2

Placez $y^{- 2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{2} (e^{x} y^{- 2})$

Étape 1.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $y^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.1

Déplacez $y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} (y^{- 2} y^{2}) e^{x}$

Étape 1.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{- 2 + 2} e^{x}$

Étape 1.2.3.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{0} e^{x}$

Étape 1.2.4

Simplifiez $- \frac{1}{4} y^{0} e^{x}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} e^{x}$

Étape 1.2.5

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{e^{x}}{4}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = - \frac{e^{x}}{4} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Placez $y^{- 2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{4} d x$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int e^{x} d x)$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} (e^{x} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} e^{x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{4} e^{x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{e^{x}}{4} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $3 (- \frac{e^{x}}{4})$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{e^{x}}{4} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{e^{x}}{4}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 e^{x}}{4} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- \frac{3 e^{x}}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + K)}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Étape 3.4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.3.1

Associez $K$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Étape 3.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- e^{x} + K \cdot 4}{4}}$

Étape 3.4.4

Déplacez $4$ à gauche de $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- e^{x} + 4 K}{4}}$

Étape 3.4.5

Associez $3$ et $\frac{- e^{x} + 4 K}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- e^{x} + 4 K)}{4}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3 (- e^{x} + 4 K)}{4}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 3.4.7

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.8.2

Élevez $\sqrt[3]{4}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.8.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Étape 3.4.8.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme $4$ .

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Étape 3.4.8.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.8.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.8.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.8.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.8.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.8.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Étape 3.4.8.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 3.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.9.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Étape 3.4.9.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Étape 3.4.9.3

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 3.4.9.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Étape 3.4.9.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Étape 3.4.9.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Étape 3.4.9.5

Associez les exposants.

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Étape 3.4.9.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Étape 3.4.9.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{4}$

Étape 3.4.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.10.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.10.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- e^{x} + K)}}{2}$