Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$y + C_{1} = \int {(1 - \tan (x))}^{5} \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 1 - \tan (x)$ . Alors $d u = - \sec^{2} (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 1 - \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $1 - \tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Étape 2.3.2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 2.3.2.1.3.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$0 - \sec^{2} (x)$

Étape 2.3.2.1.4

Soustrayez $\sec^{2} (x)$ de $0$ .

$- \sec^{2} (x)$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int - u^{5} d u$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int u^{5} d u$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Réécrivez $- (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - \tan (x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + K$