Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$

Étape 1

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- 1}$

Étape 3

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ par rapport à $x$ .

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Étape 4.1

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $v$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{v^{2}}$ et $y$ par $v^{- 1}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + x v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d v}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + x \frac{1}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6.1.1.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6.1.1.2

Simplifiez $x {(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 1 \cdot 2}$

Étape 6.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 2}$

Étape 6.1.1.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x \frac{1}{v^{2}}$

Étape 6.1.1.2.3

Associez $x$ et $\frac{1}{v^{2}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = \frac{x}{v^{2}}$

Étape 6.1.1.3

Soustrayez $\frac{x}{v}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$

Étape 6.1.1.4

Divisez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.2.2

Divisez $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{x}{v^{2}}$ comme $- \frac{x}{v^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{\frac{x}{v}}{1}$

Étape 6.1.1.4.3.1.4

Divisez $\frac{x}{v}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}$

Étape 6.1.1.5

Multipliez les deux côtés par $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Étape 6.1.1.6

Simplifiez

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Étape 6.1.1.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Étape 6.1.1.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.6.2.1

Simplifiez $(- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.2

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.6.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{v^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.3

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 6.1.1.6.2.1.3.1

Factorisez $v$ à partir de $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Étape 6.1.1.6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Étape 6.1.1.6.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = - x + x v$

Étape 6.1.1.6.2.1.4

Simplifiez en utilisant la commutativité.

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Étape 6.1.1.6.2.1.4.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + v x$

Étape 6.1.1.6.2.1.4.2

Remettez dans l’ordre $- x$ et $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = v x - x$

Étape 6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $v x - x$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v - x$

Étape 6.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v + x \cdot - 1$

Étape 6.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x v + x \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v - 1)$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} (x (v - 1))$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun de $v - 1$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $v - 1$ à partir de $x (v - 1)$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Étape 6.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Étape 6.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = x$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{v - 1} d v = x d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{v - 1} d v = \int x d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Laissez $u = v - 1$ . Puis $d u = d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Laissez $u = v - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Différenciez $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Étape 6.2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $v - 1$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Étape 6.2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Étape 6.2.2.1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Étape 6.2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 6.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v - 1$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 6.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 6.3

Résolvez $v$ .

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Étape 6.3.1

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| v - 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Étape 6.3.2

Réécrivez $\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | v - 1 |$

Étape 6.3.3

Résolvez $v$ .

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Étape 6.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Étape 6.3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Étape 6.3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$v - 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Étape 6.3.3.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} + 1$

Étape 6.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ comme $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} + 1$

Étape 6.4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ et $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Étape 6.4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Étape 7

Remplacez $v$ par $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$