Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Étape 1

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + e^{V}$

Étape 2

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 3

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 4

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + e^{V}$

Étape 5

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 5.1

Séparez les variables.

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Étape 5.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 5.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + e^{V} - V$

Étape 5.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $V + e^{V} - V$ .

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Étape 5.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + e^{V}$

Étape 5.1.1.1.2.2

Additionnez $0$ et $e^{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = e^{V}$

Étape 5.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Étape 5.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Étape 5.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{e^{V}}{x}$

Étape 5.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{V}}$ .

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{V}} \cdot \frac{e^{V}}{x}$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Associez.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Étape 5.1.3.2

Annulez le facteur commun de $e^{V}$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Étape 5.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 5.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{V}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{V})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{V})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{V \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.1.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $V$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 V$ comme $- V$ .

$\int 1 e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.1.2.2

Multipliez $e^{- V}$ par $1$ .

$\int e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.2

Laissez $u = - V$ . Alors $d u = - d V$ , donc $- d u = d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Laissez $u = - V$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Différenciez $- V$ .

$\frac{d}{d V} [- V]$

Étape 5.2.2.2.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $- V$ par rapport à $V$ est $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$- \frac{d}{d V} [V]$

Étape 5.2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 5.2.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.5

Simplifiez

$- e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- V$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 5.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- e^{- V} = \ln (| x |) + C$

Étape 5.3

Résolvez $V$ .

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1.1

Divisez chaque terme dans $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{- V}}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{- V}}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.2.2

Divisez $e^{- V}$ par $1$ .

$e^{- V} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$e^{- V} = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (| x |)$ comme $- \ln (| x |)$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Étape 5.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - C$

Étape 5.3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- V}) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Étape 5.3.3

Développez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.1

Développez $\ln (e^{- V})$ en déplaçant $- V$ hors du logarithme.

$- V \ln (e) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Étape 5.3.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- V \cdot 1 = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ par $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{V}{1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Étape 5.3.4.2.2

Divisez $V$ par $1$ .

$V = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Étape 5.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.4.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$

Étape 5.3.4.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$ comme $- \ln (- \ln (| x |) - C)$ .

$V = - \ln (- \ln (| x |) - C)$

Étape 5.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Étape 6

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Étape 7

Résolvez $\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$ pour $y$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = - x \ln (- \ln (| x |) + C)$