Calcul infinitésimal Exemples

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} = 8 x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$3 y^{2} d y = 8 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 3 y^{2} d y = \int 8 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int y^{2} d y = \int 8 x d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int 8 x d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ comme $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int 8 x d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int 8 x d x$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int 8 x d x$

Étape 2.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 y^{3} + C_{1} = \int 8 x d x$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int 8 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$y^{3} + C_{1} = 8 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{3} + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$y^{3} + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $8$ et $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{8}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} + C_{1} = \frac{4}{1} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$y^{3} + C_{1} = 4 x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y^{3} = 4 x^{2} + K$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{4 x^{2} + K}$