Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ par $x e^{- t}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ par $x e^{- t}$ .

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $e^{- t}$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d x}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Associez.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $e^{- t} x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

Étape 1.4.3

Multipliez $t$ par $1$ .

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.1

Inversez l’exposant de $e^{- t}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{- t})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $- t \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.1.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

Étape 2.3.1.2.2.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Étape 2.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{t}$ par rapport à $t$ est $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ .

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Étape 3.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

Étape 3.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$