Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x^{2} y + e^{y}) d x + (x^{3} + x e^{y} - 2 y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x^{2} y + e^{y}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + e^{y}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} y + e^{y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{2} y$ par rapport à $y$ est $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + e^{y}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{3} + x e^{y} - 2 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + x e^{y} - 2 y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x e^{y} - 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x e^{y}$ par rapport à $x$ est $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + e^{y} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + e^{y} + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3 x^{2} + e^{y}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + e^{y}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x^{2} + e^{y}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 x^{2} + e^{y}$ .

$3 x^{2} + e^{y} = 3 x^{2} + e^{y}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$3 x^{2} + e^{y} = 3 x^{2} + e^{y}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + e^{y} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 3 x^{2} y + e^{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int e^{y} d x$

Étape 5.2

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $3 y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int e^{y} d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int e^{y} d x$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + e^{y} x + C$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + e^{y} x + C$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = y x^{3} + e^{y} x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + e^{y} x + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + e^{y} x + g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y x^{3} + e^{y} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y x^{3}$ par rapport à $y$ est $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

Étape 8.3.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{y} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x^{3} + x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{3} + x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} + x e^{y} + \frac{d g}{d y} = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + e^{y} x = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

Étape 8.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} + x^{3} + e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + x e^{y} = x^{3} + x e^{y} - 2 y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = x^{3} + x e^{y} - 2 y - x^{3}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $x e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + x e^{y} - 2 y - x^{3} - x e^{y}$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $x^{3} + x e^{y} - 2 y - x^{3} - x e^{y}$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - 2 y + 0 - x e^{y}$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $x e^{y} - 2 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - 2 y - x e^{y}$

Étape 9.1.3.3

Soustrayez $x e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $- 2 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- 2 y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Étape 10.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y x^{3} + e^{y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + e^{y} x - y^{2} + C$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = y x^{3} + e^{y} x - y^{2} + C$ .

$f (x, y) = y x^{3} + x e^{y} - y^{2} + C$