Calcul infinitésimal Exemples

$y (2 x y + 1) d x - x d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y (2 x y + 1)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x y + 1)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = 2 x y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y + 1] + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x + 0) + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x) + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot y x + (2 x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y x + (2 x y + 1) \cdot 1$

Étape 1.3.8

Multipliez $2 x y + 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y x + 2 x y + 1$

Étape 1.4

Additionnez $2 y x$ et $2 x y$ .

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Étape 1.4.1

Déplacez $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x y + 1$

Étape 1.4.2

Additionnez $2 x y$ et $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 x y + 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$4 x y + 1 = - 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$4 x y + 1 = - 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 x y + 1$ .

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y (2 x y + 1)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y (2 x y + 1)$ .

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - (4 x y + 1)$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $- (4 x y + 1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1) - 1}{y (2 x y + 1)}$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1) - 1 (1)}{y (2 x y + 1)}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x y + 1) - 1 (1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1 + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- (4 x y + 2)}{y (2 x y + 1)}$

Étape 4.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $4 x y + 2$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x y$ .

$\frac{- (2 (2 x y) + 2)}{y (2 x y + 1)}$

Étape 4.3.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{- (2 (2 x y) + 2 (1))}{y (2 x y + 1)}$

Étape 4.3.2.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x y) + 2 (1)$ .

$\frac{- (2 (2 x y + 1))}{y (2 x y + 1)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Étape 4.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $2 x y + 1$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{y}$

Étape 4.3.4

Remplacez $M$ par $y (2 x y + 1)$ .

$- \frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y (2 x y + 1) d x - x d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y (2 x y + 1)$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (2 x y + 1) \frac{1}{y^{2}} d x - x d y = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y (2 x y + 1) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y (2 x y + 1) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$(2 x y + 1) \frac{1}{y} d x - x d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $2 x y + 1$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x - x d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $- x$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x - x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.5

Associez $\frac{1}{y^{2}}$ et $x$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x - \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x}{y^{2}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = - \frac{x}{y^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Étape 8.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , placez $x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (x \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Étape 8.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = - x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Étape 8.4

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$f (x, y) = - x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Étape 8.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 8.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Étape 8.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - x \int y^{- 2} d y$

Étape 8.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = - x (- y^{- 1} + C)$

Étape 8.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.7.1

Réécrivez $- x (- y^{- 1} + C)$ comme $- x (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = - x (- \frac{1}{y}) + C$

Étape 8.7.2

Simplifiez

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Étape 8.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x, y) = 1 x \frac{1}{y} + C$

Étape 8.7.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = x \frac{1}{y} + C$

Étape 8.7.2.3

Associez $x$ et $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x y + 1}{y}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y} + g (x)] = \frac{2 x y + 1}{y}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{y} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y + 1}{y}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $\frac{1}{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y + 1}{y}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y + 1}{y}$

Étape 11.3.3

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $1$ .

$\frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y + 1}{y}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x y + 1}{y}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} = \frac{2 x y + 1}{y}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{2 x y + 1}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} - \frac{2 x y + 1}{y} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - (2 x y + 1)}{y} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - (2 x y) - 1 \cdot 1}{y} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 2 (x y) - 1 \cdot 1}{y} = 0$

Étape 12.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 2 x y - 1}{y} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $1 - 2 x y - 1$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y + 0}{y} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $- 2 x y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y}{y} = 0$

Étape 12.1.1.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 12.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y}{y} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Divisez $- 2 x$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Étape 13

Déterminez la primitive de $2 x$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Étape 13.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 2 \int x d x$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 13.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.5.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 13.5.2

Simplifiez

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Étape 13.5.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 13.5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Étape 13.5.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + x^{2} + C$