Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{5 x}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{1}{5 x y}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{5 x y}$

Étape 1.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $5 x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{y (5 x)}$

Étape 1.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{y (5 x)}$

Étape 1.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y d y = - \frac{1}{5 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - \frac{1}{5 x} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{5 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{5 x} d x$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\ln (| x |)$ et $\frac{1}{5}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{\ln (| x |)}{5} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- \frac{\ln (| x |)}{5}) + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $2 (- \frac{\ln (| x |)}{5})$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{\ln (| x |)}{5} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{\ln (| x |)}{5}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 \ln (| x |)}{5} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{2 \ln (| x |)}{5} + 2 C$

Étape 3.3

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y^{2} = - \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C}$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez $\frac{\ln ({| x |}^{2})}{5}$ comme $\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})) + 2 C}$

Étape 3.5.2

Simplifiez $\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ dans le logarithme.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({({| x |}^{2})}^{\frac{1}{5}}) + 2 C}$

Étape 3.5.3

Multipliez les exposants dans ${({| x |}^{2})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 3.5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{2 (\frac{1}{5})}) + 2 C}$

Étape 3.5.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + C}$