Calcul infinitésimal Exemples

${(x + y)}^{2} d x + (2 x y + x^{2} - 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{2}]$

Étape 1.2

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [(x + y) (x + y)]$

Étape 1.3

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (x + y) + y (x + y)]$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y (x + y)]$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y x + y \cdot y]$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y \cdot y]$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y^{2}]$

Étape 1.4.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + x y + y^{2}]$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Étape 1.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.6

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.7

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.8

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x y + x^{2} - 1$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2} - 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $2 y + 2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x + 2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 2 y$ .

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int {(x + y)}^{2} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = x + y$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1.1

Laissez $u = x + y$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1.1

Différenciez $x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 5.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 5.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 5.1.1.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$f (x, y) = \int u^{2} d u$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{3}$ et $g (y) = x + y$ .

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Étape 8.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.3.4

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.3.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.3.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.3.8

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.3.9

Associez $\frac{3}{3}$ et ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.3.10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.3.10.2

Divisez ${(x + y)}^{2}$ par $1$ .

${(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

${(x + y)}^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + {(x + y)}^{2} = 2 x y + x^{2} - 1$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Soustrayez ${(x + y)}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int 2 x y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Étape 10.4

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 x$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 2 x \int y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Étape 10.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Étape 10.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Étape 10.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Étape 10.8

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Étape 10.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int {(x + y)}^{2} d y$

Étape 10.10

Laissez $u = x + y$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.10.1

Laissez $u = x + y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 10.10.1.1

Différenciez $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Étape 10.10.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 10.10.1.3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 10.10.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 10.10.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 10.10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int u^{2} d u$

Étape 10.11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 10.12

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{u^{3}}{3} + C)$

Étape 10.13

Simplifiez

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{u^{3}}{3} + C$

Étape 10.14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{{(x + y)}^{3}}{3} + C$

Étape 10.15

Simplifiez

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Étape 10.15.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - (\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}) + C$

Étape 10.15.2

Supprimez les parenthèses.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Étape 12

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$ .

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Étape 12.1

Soustrayez $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ de $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ .

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + 0 + C$

Étape 12.2

Additionnez $x y^{2} + x^{2} y - y$ et $0$ .

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + C$