Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 1.2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\arctan (x) = 4 t + K$

Étape 3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$x = \tan (4 t + K)$