Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = 2 x$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} = 2 x$

Étape 1.1.2

Multipliez les deux côtés par $1 + y$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = 2 x (1 + y)$

Étape 1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = 2 x (1 + y)$

Étape 1.1.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x (1 + y)$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.2.1

Simplifiez $2 x (1 + y)$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x \cdot 1 + 2 x y$

Étape 1.1.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x + 2 x y$

Étape 1.1.3.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $2 x y$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x$ par $\sqrt{1 + x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x$ par $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.3.1.1

Multipliez $\frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.4.3.1.2.1

Multipliez $\frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.2.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.2.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 1.1.4.3.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.3.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.2.6.5

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.3

Multipliez $\frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.4.3.1.4.1

Multipliez $\frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Étape 1.1.4.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 1.1.4.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Étape 1.1.4.3.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 1.1.4.3.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.4.3.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.1.4.3.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.4.3.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.1.4.3.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Étape 1.1.4.3.1.4.6.5

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}} + 2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.2.2

Factorisez $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $2 x y \sqrt{1 + x^{2}} + 2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Étape 1.1.4.3.2.2.1

Factorisez $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $2 x y \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (y) + 2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.2.2.2

Factorisez $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (y) + 2 x \sqrt{1 + x^{2}} (1)}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3.2.2.3

Factorisez $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $2 x \sqrt{1 + x^{2}} (y) + 2 x \sqrt{1 + x^{2}} (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (y + 1)}{1 + x^{2}}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $y + 1$ à partir de $\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 1 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.3

Multipliez $\int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{2}}$ comme ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

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Étape 2.3.5.3.1

Placez ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3.2

Multipliez $u_{2}$ par ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.3.2.1

Multipliez $u_{2}$ par ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.5.3.2.1.1

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.5.4.1

Retirez ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.4.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.4.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y + 1 |) = 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y + 1 |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y + 1 | = e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y + 1 | = e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} - 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ comme $e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C} - 1$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$