Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Étape 1

Laissez $v = \frac{d y}{d x}$ . Puis $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $v$ et $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ par $\frac{d v}{d x}$ pour obtenir une équation différentielle avec la variable dépendante $v$ et la variable indépendante $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \cos (x)$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 1$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + C_{1}}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$

Étape 3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = e^{x} \cos (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = e^{x} \cos (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int e^{x} \cos (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{x} v = \int e^{x} \cos (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $\cos (x)$ .

$e^{x} v = \int \cos (x) e^{x} d x$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (x)$ et $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

Étape 7.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Étape 7.4.2

Multipliez $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ par $1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Étape 7.4.3

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $\sin (x)$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

Étape 7.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (x)$ et $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Étape 7.6

En résolvant $\int e^{x} \cos (x) d x$ , nous trouvons que $\int e^{x} \cos (x) d x$ = $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}$ .

$e^{x} v = \frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$

Étape 7.7

Réécrivez $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$ comme $\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ .

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ par $e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ par $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}$ .

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Étape 8.3.1.1.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $\cos (x) e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3.1.1.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $\sin (x) e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3.1.1.1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} (\cos (x) + \sin (x)))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

$v = \frac{\frac{1}{2} e^{x} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3.1.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3.1.2

Factorisez $\frac{e^{x}}{2}$ à partir de $\frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}}$ .

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{1}{2} (\cos (x) + \sin (x)) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$v = \frac{1}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3.1.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 8.3.1.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Étape 10

Réécrivez l’équation.

$d y = (\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

Étape 11

Intégrez les deux côtés.

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Étape 11.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Étape 11.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Étape 11.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Étape 11.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \int \cos (x) d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Étape 11.3.3

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Étape 11.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} \int \sin (x) d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Étape 11.3.5

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Étape 11.3.6

Comme $C_{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $C_{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Étape 11.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.3.7.1

Inversez l’exposant de $e^{x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Étape 11.3.7.2

Simplifiez

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Étape 11.3.7.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Étape 11.3.7.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Étape 11.3.7.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Étape 11.3.7.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

Étape 11.3.7.2.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int e^{- x} d x$

Étape 11.3.8

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 11.3.8.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 11.3.8.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 11.3.8.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11.3.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 11.3.8.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 11.3.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int - e^{u} d u$

Étape 11.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

Étape 11.3.10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

Étape 11.3.11

Simplifiez

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

Étape 11.3.12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Étape 11.3.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Étape 11.3.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C_{2} + C_{7}$

Étape 11.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C + D$