Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3 = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3$ .

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + y + 3 = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + 3 = - y$

Étape 1.1.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$

Étape 1.1.3

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ par $\cos (x)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Étape 1.1.3.3.1.4

Divisez $y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - (y \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Étape 1.1.3.3.1.5

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 1.1.3.3.1.6

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \sec (x)$

Étape 1.1.3.3.1.7

Divisez $- 3$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) - 3 \sec (x)$

Étape 1.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- y \sec (x) - 3 \sec (x)$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- y \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) - 3 \sec (x)$

Étape 1.2.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- 3 \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$

Étape 1.2.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y - 3)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{- y - 3}$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} (\sec (x) (- y - 3))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $- y - 3$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $- y - 3$ à partir de $\sec (x) (- y - 3)$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \sec (x)$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{- y - 3} d y = \sec (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{- y - 3} d y = \int \sec (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = - y - 3$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = - y - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \sec (x) d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y - 3$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| - y - 3 |) = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| - y - 3 |) - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = C$

Étape 3.2

Ajoutez $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ aux deux côtés de l’équation.

$- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y - 3 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| - y - 3 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Étape 3.3.2.2

Divisez $\ln (| - y - 3 |)$ par $1$ .

$\ln (| - y - 3 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Étape 3.3.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ comme $- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Étape 3.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| - y - 3 |) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Étape 3.5

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y - 3 | | \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Étape 3.6

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (- y - 3) (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Étape 3.7

Développez $(- y - 3) (\sec (x) + \tan (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| - y (\sec (x) + \tan (x)) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Étape 3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Étape 3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$

Étape 3.8

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |)} = e^{- C}$

Étape 3.9

Réécrivez $\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |$

Étape 3.10

Résolvez $y$ .

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Étape 3.10.1

Réécrivez l’équation comme $| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$ .

$| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$

Étape 3.10.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C}$

Étape 3.10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.10.3.1

Ajoutez $3 \sec (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x)$

Étape 3.10.3.2

Ajoutez $3 \tan (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$- y \sec (x) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Étape 3.10.4

Factorisez $y$ à partir de $- y \sec (x) - y \tan (x)$ .

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Étape 3.10.4.1

Factorisez $y$ à partir de $- y \sec (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Étape 3.10.4.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \tan (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Étape 3.10.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x))$ .

$y (- 1 \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Étape 3.10.5

Réécrivez $- 1 \sec (x)$ comme $- \sec (x)$ .

$y (- \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Étape 3.10.6

Réécrivez $- 1 \tan (x)$ comme $- \tan (x)$ .

$y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Étape 3.10.7

Divisez chaque terme dans $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ par $- \sec (x) - \tan (x)$ et simplifiez.

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Étape 3.10.7.1

Divisez chaque terme dans $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ par $- \sec (x) - \tan (x)$ .

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Étape 3.10.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.10.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- \sec (x) - \tan (x)$ .

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Étape 3.10.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Étape 3.10.7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Étape 3.10.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.10.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.7.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec (x) - \tan (x)$ .

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Étape 3.10.7.3.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Étape 3.10.7.3.1.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Étape 3.10.7.3.1.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Étape 3.10.7.3.1.2

Simplifiez $\frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Étape 3.10.7.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec (x) - \tan (x)$ .

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Étape 3.10.7.3.1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Étape 3.10.7.3.1.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Étape 3.10.7.3.1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Étape 3.10.7.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Étape 3.10.7.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec (x) - \tan (x)$ .

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Étape 3.10.7.3.1.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)}$

Étape 3.10.7.3.1.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))}$

Étape 3.10.7.3.1.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))}$

Étape 3.10.7.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 3.10.7.3.2

Associez en une fraction.

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Étape 3.10.7.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 3.10.7.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$