Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$

Étape 1

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ .

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Étape 4.1

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Étape 4.5

Simplifiez

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.6.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.2.1

Multipliez $v^{\frac{1}{2}}$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.6.2.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = v$ .

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Étape 4.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.13

Associez $\frac{1}{2}$ et $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.14

Placez $v^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.15

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Étape 4.16

Associez $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ et $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Étape 4.17

Réécrivez $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ comme un produit.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Étape 4.18

Multipliez $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Étape 4.19

Élevez $v$ à la puissance $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.21

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 4.23

Additionnez $2$ et $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ et $y$ par $v^{- \frac{1}{2}}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ par $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ par $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 6.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.1.2

Factorisez $2 v^{\frac{3}{2}}$ à partir de $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.5

Multipliez $v^{- \frac{1}{2}}$ par $v^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.2.1.5.1

Déplacez $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3 - 1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.5.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{2}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.5.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{1} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.6

Simplifiez $- 1 \cdot 2 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 1 \cdot 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.1.3.3

Multipliez les exposants dans ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Étape 6.1.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.1.3.3.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.1.3.3.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.1.3.3.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.1.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.1.3.4

Multipliez $v^{- \frac{3}{2}}$ par $v^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.3.4.1

Déplacez $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Étape 6.1.3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Étape 6.1.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Étape 6.1.3.4.4

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{0}{2}}$

Étape 6.1.3.4.5

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{0}$

Étape 6.1.3.5

Simplifiez $- 2 x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x$

Étape 6.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 2$ .

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Étape 6.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 d x}$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 2 x + C}$

Étape 6.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 x}$

Étape 6.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 2 x}$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 v) = e^{- 2 x} (- 2 x)$

Étape 6.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} (- 2 x)$

Étape 6.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$

Étape 6.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 v e^{- 2 x} = - 2 x e^{- 2 x}$

Étape 6.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] = - 2 x e^{- 2 x}$

Étape 6.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] d x = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 2 x} v = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.7.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} v = - 2 \int x e^{- 2 x} d x$

Étape 6.7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Étape 6.7.3

Simplifiez

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Étape 6.7.3.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Étape 6.7.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Étape 6.7.3.3

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 6.7.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 6.7.5

Simplifiez

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Étape 6.7.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 6.7.5.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ par $1$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 6.7.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Étape 6.7.7

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.7.7.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.7.7.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 6.7.7.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.7.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 6.7.7.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 6.7.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Étape 6.7.8

Simplifiez

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Étape 6.7.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Étape 6.7.8.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 6.7.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Étape 6.7.10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Étape 6.7.11

Simplifiez

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Étape 6.7.11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Étape 6.7.11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Étape 6.7.12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Étape 6.7.13

Simplifiez

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Étape 6.7.13.1

Réécrivez $- 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ comme $- 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 6.7.13.2

Simplifiez

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Étape 6.7.13.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 6.7.13.2.2

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 6.7.13.2.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Étape 6.7.14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 6.7.15

Simplifiez

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Étape 6.7.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 6.7.15.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.7.15.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ dans le numérateur.

$e^{- 2 x} v = - 2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 6.7.15.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{- 2 x} v = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 6.7.15.2.3

Annulez le facteur commun.

$e^{- 2 x} v = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 6.7.15.2.4

Réécrivez l’expression.

$e^{- 2 x} v = - (- e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 6.7.15.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = 1 (e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 6.7.15.4

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 6.7.15.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.7.15.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ dans le numérateur.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Étape 6.7.15.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Étape 6.7.15.5.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Étape 6.7.15.5.4

Annulez le facteur commun.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Étape 6.7.15.5.5

Réécrivez l’expression.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 6.7.15.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.15.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 6.7.15.6.2

Multipliez $- - \frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

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Étape 6.7.15.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 1 \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 6.7.15.6.2.2

Multipliez $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ par $1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 6.7.15.7

Associez $e^{- 2 x} x$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 6.7.15.7.1

Remettez dans l’ordre $e^{- 2 x}$ et $x$ .

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 6.7.15.7.2

Pour écrire $x e^{- 2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 6.7.15.7.3

Associez $x e^{- 2 x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 6.7.15.7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 6.7.15.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.7.15.8.1

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ .

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Étape 6.7.15.8.1.1

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 6.7.15.8.1.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C$

Étape 6.7.15.8.1.3

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Étape 6.7.15.8.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

$e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$

Étape 6.8

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ par $e^{- 2 x}$ et simplifiez.

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Étape 6.8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ par $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 x}$ .

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Étape 6.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.8.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.8.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.3

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}) + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{- 2 x} x) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.8.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{- 2 x} x$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- 2 x}$ .

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.7

Associez $e^{- 2 x} x$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ en utilisant un dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.3.2.7.1

Remettez dans l’ordre $e^{- 2 x}$ et $x$ .

$v = \frac{x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.7.2

Pour écrire $x e^{- 2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.7.3

Associez $x e^{- 2 x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.8.3.2.8.1

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ .

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Étape 6.8.3.2.8.1.1

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.8.1.2

Multipliez par $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.8.1.3

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.2.8.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.3

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.8.3.4.1

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.5.3

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.5.4

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ .

$v = \frac{\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Étape 6.8.3.8

Multipliez $\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ par $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$

Étape 7

Remplacez $v$ par $y^{- 2}$ .

$y^{- 2} = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$