Calcul infinitésimal Exemples

$(x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x + y e^{\frac{y}{x}}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{\frac{y}{x}}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y e^{\frac{y}{x}}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$

Étape 1.2.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{\frac{y}{x}}] + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = \frac{y}{x}$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.3

Comme $\frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \cdot 1)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \cdot 1)) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Étape 1.3.6

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x}) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Étape 1.3.7

Associez $e^{\frac{y}{x}}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Étape 1.3.8

Associez $y$ et $\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Étape 1.3.9

Multipliez $e^{\frac{y}{x}}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - x e^{\frac{y}{x}}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x e^{\frac{y}{x}}]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x e^{\frac{y}{x}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x e^{\frac{y}{x}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x e^{\frac{y}{x}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}] + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{y}{x}$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y}{x}$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y (- x^{- 2}))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 2} x^{1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 2 + 1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- 1 \cdot y)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez $e^{\frac{y}{x}}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}})$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{1}{x} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}})$

Étape 2.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{1}{x} (e^{\frac{y}{x}} (- y))) - e^{\frac{y}{x}}$

Étape 2.11.3

Associez des termes.

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Étape 2.11.3.1

Associez $e^{\frac{y}{x}}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} (- y)) - e^{\frac{y}{x}}$

Étape 2.11.3.2

Associez $\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ et $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Étape 2.11.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Étape 2.11.3.4

Multipliez $\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Étape 2.11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - (\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}})}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $- x e^{\frac{y}{x}}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $- x e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - (\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}})}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - - e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- - e^{\frac{y}{x}}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $e^{\frac{y}{x}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x}$ de $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{0 + e^{\frac{y}{x}} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $0$ et $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{e^{\frac{y}{x}} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Étape 4.3.2.5

Additionnez $e^{\frac{y}{x}}$ et $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{y}{x}}$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{- x}$

Étape 4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x + y e^{\frac{y}{x}}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x + y e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x + y e^{\frac{y}{x}}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $- x e^{\frac{y}{x}}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- x e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 6.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 6.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - 1 e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 6.5

Associez $\frac{1}{x}$ et $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - 1 \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y = 0$

Étape 6.6

Réécrivez $- 1 \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ comme $- \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y$

Étape 8.2

Comme $\frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{x}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x} \int e^{\frac{y}{x}} d y)$

Étape 8.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{\frac{y}{x}} d y$

Étape 8.4

Laissez $u = \frac{y}{x}$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d y$ , donc $x d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.4.1

Laissez $u = \frac{y}{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 8.4.1.1

Différenciez $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Étape 8.4.1.2

Comme $\frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 8.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Étape 8.4.1.4

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 8.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{x}} d u$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} (1 x) d u$

Étape 8.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} x d u$

Étape 8.6

Comme $x$ est constant par rapport à $u$ , placez $x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} (x \int e^{u} d u)$

Étape 8.7

Simplifiez

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Étape 8.7.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{x} \int e^{u} d u$

Étape 8.7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = - \frac{x}{x} \int e^{u} d u$

Étape 8.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = - 1 \cdot 1 \int e^{u} d u$

Étape 8.7.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (x, y) = - \int e^{u} d u$

Étape 8.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$f (x, y) = - (e^{u} + C)$

Étape 8.9

Simplifiez

$f (x, y) = - e^{u} + C$

Étape 8.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{y}{x}$ .

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}} + g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- e^{\frac{y}{x}} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{\frac{y}{x}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{y}{x}$ .

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Étape 11.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{y}{x}$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{y}{x}$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.3.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y}{x}$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.3.4

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y (- x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (e^{\frac{y}{x}} (y (x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.3.7

Multipliez $e^{\frac{y}{x}}$ par $1$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.5.2

Associez des termes.

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Étape 11.5.2.1

Associez $y$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{y}{x}} \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.5.2.2

Associez $e^{\frac{y}{x}}$ et $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} - \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}} - (x + y e^{\frac{y}{x}})}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}} - x - y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $y e^{\frac{y}{x}} - x - y e^{\frac{y}{x}}$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Soustrayez $y e^{\frac{y}{x}}$ de $y e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.5.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 12.1.1.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.1.5.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $\frac{1}{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{1}{x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 13.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + \ln (| x |) + C$