Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 2 y = x$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 2$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 2 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 2 x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} x$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x$

Étape 2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = x e^{- 2 x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = x e^{- 2 x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int x e^{- 2 x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 2 x} y = \int x e^{- 2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Étape 6.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Étape 6.3

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Étape 6.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Étape 6.5

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.5.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.5.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 6.5.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 6.5.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 6.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 6.6

Simplifiez

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Étape 6.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 6.6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 6.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 6.8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Étape 6.9

Simplifiez

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Étape 6.9.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Étape 6.9.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Étape 6.10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Étape 6.11

Simplifiez

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Étape 6.11.1

Réécrivez $- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ comme $- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Étape 6.11.2

Simplifiez

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Étape 6.11.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Étape 6.11.2.2

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Étape 6.12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Étape 6.13

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Étape 6.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x}}{2} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Étape 7.1.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Étape 7.1.3

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$ par $e^{- 2 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$ par $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 x}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ par $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ .

$y = - \frac{x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 x}$ .

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Étape 7.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2.3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2.3.1.5

Multipliez $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ par $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x} \cdot 4} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2.3.1.6

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 x}$ .

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Étape 7.2.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x} \cdot 4} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$