Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 y t + 1$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t + 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y t + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Comme $2 y t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y t$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$2 y = 0$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 y = 0$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ .

$\frac{0 - (2 y)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y^{2}$ .

$\frac{0 - (2 y)}{y^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{y^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $2 y$ de $0$ .

$\frac{- 2 y}{y^{2}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{y}$

Étape 4.3.4

Remplacez $M$ par $y^{2}$ .

$- \frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y^{2}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $2 y t + 1$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + (2 y t + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $2 y t + 1$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = 1$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Étape 11.3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Étape 11.5

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Étape 12

Déterminez la primitive de $\frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 12.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Étape 12.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Étape 12.3

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y$

Étape 12.4

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 12.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{2 \cdot - 1} d y$

Étape 12.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{- 2} d y$

Étape 12.5

Développez $(2 y t + 1) y^{- 2}$ .

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Étape 12.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y$

Étape 12.5.2

Multipliez $y^{- 2}$ par $1$ .

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + y^{- 2} d y$

Étape 12.6

Multipliez $y$ par $y^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.6.1

Déplacez $y^{- 2}$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y) t + y^{- 2} d y$

Étape 12.6.2

Multipliez $y^{- 2}$ par $y$ .

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Étape 12.6.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y^{1}) t + y^{- 2} d y$

Étape 12.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g (y) = \int 2 y^{- 2 + 1} t + y^{- 2} d y$

Étape 12.6.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t + y^{- 2} d y$

Étape 12.7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t d y + \int y^{- 2} d y$

Étape 12.8

Comme $2 t$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 t$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 2 t \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y$

Étape 12.9

L’intégrale de $y^{- 1}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) + \int y^{- 2} d y$

Étape 12.10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) - y^{- 1} + C$

Étape 12.11

Simplifiez

$g (y) = 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Étape 13

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Étape 14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (x, y) = x + t \ln ({| y |}^{2}) - \frac{1}{y} + C$

Étape 14.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$f (x, y) = x + t \ln (y^{2}) - \frac{1}{y} + C$