Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ , $y (0) = 2$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{y})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{y}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = - x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = - x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - x d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Réécrivez $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$

Étape 5

Comme $y$ est positif dans la condition initiale $(0, 2)$ , ne tenez compte que de $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $x$ par $0$ et $y$ par $2$ .

$2 = \sqrt{- 0^{2} + K}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{- 0^{2} + K} = 2$ .

$\sqrt{- 0^{2} + K} = 2$

Étape 6.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- 0^{2} + K}}^{2} = 2^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- 0^{2} + K}$ comme ${(- 0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez ${({(- 0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- 0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 0^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- 0^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- 0^{2} + K)}^{1} = 2^{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(- 0 + K)}^{1} = 2^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{2}$

Étape 6.3.2.1.3

Simplifiez en ajoutant des zéros.

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Étape 6.3.2.1.3.1

Additionnez $0$ et $K$ .

$K^{1} = 2^{2}$

Étape 6.3.2.1.3.2

Simplifiez

$K = 2^{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$K = 4$

Étape 7

Remplacez $K$ par $4$ dans $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $4$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 4}$

Étape 7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 2^{2}}$

Étape 7.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $2^{2}$ .

$y = \sqrt{2^{2} - x^{2}}$

Étape 7.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$