Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} + y$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $\frac{1}{y^{2}} + y$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1.1.1

Pour écrire $y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{1}{\frac{1 + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.3.2.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.3.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1} y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.1.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1 + 2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.1.3.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{3}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.1.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1^{2} - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.1.3.4

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1.3.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.1.3.4.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\int 1 \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})}$ par $1$ .

$\int \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Alors $d u = 3 y^{2} d y$ , donc $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y + y^{2})]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = 1 + y$ et $g (y) = 1 - y + y^{2}$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y + y^{2}] + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - y + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.2.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.2.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.2.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.2.1.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 + y) (- 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.2.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.2.1.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.2.2.1.3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.2.2.1.3.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2.1.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.3.12

Multipliez $1 - y + y^{2}$ par $1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + 1 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Associez des termes.

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Étape 2.2.2.1.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$- 1 - 1 \cdot y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$- 1 - y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 1 - y + 2 y + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y) + 1 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y^{1}) + 1 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{1 + 1} + 1 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4.9

Additionnez $- y$ et $2 y$ .

$- 1 + y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4.10

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$y + 2 y^{2} + 0 - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4.11

Additionnez $y + 2 y^{2}$ et $0$ .

$y + 2 y^{2} - y + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4.12

Soustrayez $y$ de $y$ .

$2 y^{2} + 0 + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4.13

Additionnez $2 y^{2}$ et $0$ .

$2 y^{2} + y^{2}$

Étape 2.2.2.1.4.4.14

Additionnez $2 y^{2}$ et $y^{2}$ .

$3 y^{2}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Étape 2.2.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) = x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Développez $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.2

Multipliez $- y$ par $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y \cdot y + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.6

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.1.2.1.6.1

Déplacez $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - (y \cdot y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.6.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.7

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.1.2.1.7.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1.7.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1} y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1 + 2} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.7.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1.1.2.2.1

Associez les termes opposés dans $1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3}$ .

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Étape 3.2.1.1.2.2.1.1

Additionnez $- y$ et $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.1.2

Additionnez $1 + y^{2}$ et $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.1.3

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.1.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (| 1 + y^{3} |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 (x + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 + y^{3} |)} = e^{3 x + 3 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + 3 C} = | 1 + y^{3} |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$ .

$| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C} - 1$

Étape 3.5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + 3 C} - 1}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + C} - 1}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{3 x + C}$ comme $e^{3 x} e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x} e^{C} - 1}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{3 x}$ et $e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{C} e^{3 x} - 1}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \sqrt[3]{C e^{3 x} - 1}$