Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y + y$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y + y$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y + y$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2 x^{2} y}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2 x^{2} y}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 x y)}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 x y)}{x^{1}} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 x y)}{x \cdot 1} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 x y)}{x \cdot 1} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{1} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.5

Divisez $2 x y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + \frac{y}{x}$

Étape 1.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y + \frac{y}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (2 x) + \frac{y}{x}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (2 x) + y \frac{1}{x}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (2 x) + y \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (2 x + \frac{1}{x})$

Étape 1.2.2

Pour écrire $2 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{2 x \cdot x}{x} + \frac{1}{x})$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{2 x \cdot x + 1}{x}$

Étape 1.2.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{2 (x \cdot x) + 1}{x}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{2 x^{2} + 1}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x^{2} + 1}{x})$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x^{2} + 1}{x})$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + 1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x (2 x)}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.5

Divisez $2 x$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = x^{2} + \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = x^{2} + C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x^{2} + C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{x^{2} + C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x^{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{| x |} = e^{x^{2} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{x^{2} + C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x^{2} + C} | x |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x^{2} + C} | x |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{x^{2} + C} | x |$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x^{2} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{x^{2} + C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{x^{2} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $e^{x^{2} + C}$ comme $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{x^{2}} e^{C})$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{x^{2}})$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | x | e^{x^{2}}$