Calcul infinitésimal Exemples

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} y^{3} = x^{4}$

Étape 1

Laissez $v = y^{3}$ . Remplacez toutes les occurrences de $y^{3}$ par $v$ .

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d x}$ en différenciant $y^{3}$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} y'$

Étape 3

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $3 y^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 y^{2} \frac{\frac{d v}{d x}}{3 y^{2}} + x^{- 1} v = x^{4}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x^{4}$

Étape 4

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $v$ à partir de $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = x^{4}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $v$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Étape 5

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 5.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 5.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (x)}$

Étape 5.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x$

Étape 6

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 6.1

Multipliez chaque terme par $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x \cdot x^{4}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Étape 6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d v}{d x} + v = x \cdot x^{4}$

Étape 6.3

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 6.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1} x^{4}$

Étape 6.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1 + 4}$

Étape 6.3.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{5}$

Étape 7

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x v] = x^{5}$

Étape 8

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int x^{5} d x$

Étape 9

Intégrez le côté gauche.

$x v = \int x^{5} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$

Étape 11

Divisez chaque terme dans $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Divisez chaque terme dans $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ par $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 11.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{6}$ et $x$ .

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Étape 11.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 11.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Étape 11.3.1.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 11.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 11.3.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{5}}{1} + \frac{C}{x}$

Étape 11.3.1.1.2.5

Divisez $\frac{1}{6} x^{5}$ par $1$ .

$v = \frac{1}{6} x^{5} + \frac{C}{x}$

Étape 11.3.1.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{5}$ .

$v = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $y^{3}$ .

$y^{3} = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Étape 13

Résolvez $y$ .

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Étape 13.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$

Étape 13.2

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$ .

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Étape 13.2.1

Pour écrire $\frac{x^{5}}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x}}$

Étape 13.2.2

Pour écrire $\frac{C}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Étape 13.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6 x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 13.2.3.1

Multipliez $\frac{x^{5}}{6}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Étape 13.2.3.2

Multipliez $\frac{C}{x}$ par $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{x \cdot 6}}$

Étape 13.2.3.3

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 6$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{6 x}}$

Étape 13.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x + C \cdot 6}{6 x}}$

Étape 13.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.5.1

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.2.5.1.1

Multipliez $x^{5}$ par $x$ .

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Étape 13.2.5.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x^{1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Étape 13.2.5.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5 + 1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Étape 13.2.5.1.2

Additionnez $5$ et $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + C \cdot 6}{6 x}}$

Étape 13.2.5.2

Déplacez $6$ à gauche de $C$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$

Étape 13.2.6

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$

Étape 13.2.7

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Étape 13.2.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{\sqrt[3]{6 x} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Étape 13.2.8.2

Élevez $\sqrt[3]{6 x}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Étape 13.2.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1 + 2}}$

Étape 13.2.8.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{3}}$

Étape 13.2.8.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{6 x}}^{3}$ comme $6 x$ .

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Étape 13.2.8.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{6 x}$ comme ${(6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{({(6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 13.2.8.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 13.2.8.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 13.2.8.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.2.8.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 13.2.8.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{1}}$

Étape 13.2.8.5.5

Simplifiez

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{6 x}$

Étape 13.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.9.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{6 x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}}{6 x}$

Étape 13.2.9.2

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{6^{2} x^{2}}}{6 x}$

Étape 13.2.9.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{36 x^{2}}}{6 x}$

Étape 13.2.10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$

Étape 13.2.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + 6 C)}}{6 x}$

Étape 14

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + C)}}{6 x}$