Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} d x + e^{x} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x y^{2} d x$ des deux côtés de l’équation.

$e^{x} d y = - x y^{2} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{x} y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{x} y^{2}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{1}{e^{x} (y^{2})} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{x} y^{2}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{e^{x} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{e^{x} y^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{x} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (x y^{2}) d x$

Étape 3.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (y^{2} x) d x$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (y^{2} x) d x$

Étape 3.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{x}} x d x$

Étape 3.4

Associez $\frac{- 1}{e^{x}}$ et $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- x}{e^{x}} d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1

Inversez l’exposant de $e^{x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Étape 4.3.2.2.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{- x} d x$

Étape 4.3.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Étape 4.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Étape 4.3.5

Simplifiez

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Étape 4.3.6

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.6.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.6.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.3.6.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.3.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.3.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Étape 4.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Étape 4.3.9

Réécrivez $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ comme $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Étape 4.3.11

Simplifiez

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Étape 4.3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{2}$

Étape 4.3.11.2

Multipliez $- (- x e^{- x})$ .

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Étape 4.3.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{2}$

Étape 4.3.11.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} - - e^{- x} + C_{2}$

Étape 4.3.11.3

Multipliez $- - e^{- x}$ .

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Étape 4.3.11.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C_{2}$

Étape 4.3.11.3.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} + e^{- x} + C_{2}$

Étape 4.3.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{- x} x + e^{- x} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1, 1$

Étape 5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Étape 5.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$ .

$- 1 = x y e^{- x} + y e^{- x} + K y$

Étape 5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.3.1

Réécrivez l’équation comme $x y e^{- x} + y e^{- x} + K y = - 1$ .

$x y e^{- x} + y e^{- x} + K y = - 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $x y e^{- x} + y e^{- x} + K y$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y e^{- x}$ .

$y (x e^{- x}) + y e^{- x} + K y = - 1$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y e^{- x}$ .

$y (x e^{- x}) + y (e^{- x}) + K y = - 1$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y (x e^{- x}) + y (e^{- x}) + y K = - 1$

Étape 5.3.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y (x e^{- x}) + y (e^{- x})$ .

$y (x e^{- x} + e^{- x}) + y K = - 1$

Étape 5.3.2.5

Factorisez $y$ à partir de $y (x e^{- x} + e^{- x}) + y K$ .

$y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$ par $x e^{- x} + e^{- x} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$ par $x e^{- x} + e^{- x} + K$ .

$\frac{y (x e^{- x} + e^{- x} + K)}{x e^{- x} + e^{- x} + K} = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x e^{- x} + e^{- x} + K$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x e^{- x} + e^{- x} + K)}{x e^{- x} + e^{- x} + K} = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$